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Mar 03, 2024

Eine neuartige Technik zur Lösung instationärer Drei

Scientific Reports Band 13, Artikelnummer: 13241 (2023) Diesen Artikel zitieren 164 Zugriffe 3 Details zu altmetrischen Metriken Die Bewegung der Flüssigkeit aufgrund der Verwirbelung einer Scheibe/Platte hat viele Anwendungen

Wissenschaftliche Berichte Band 13, Artikelnummer: 13241 (2023) Diesen Artikel zitieren

164 Zugriffe

3 Altmetrisch

Details zu den Metriken

Die Bewegung der Flüssigkeit aufgrund der Verwirbelung einer Scheibe/Platte hat viele Anwendungen im Maschinenbau und in der Industrie. Die Untersuchung dieser Art von Problemen ist aufgrund der Nichtlinearität der maßgeblichen Gleichungen sehr schwierig, insbesondere wenn die maßgeblichen Gleichungen analytisch gelöst werden müssen. Zeit wird bei Problemen auch als Herausforderung angesehen, und zeitabhängige Probleme sind selten. Diese Studie zielt darauf ab, das Problem im Zusammenhang mit einer transienten rotierenden Winkelplatte durch zwei Analysetechniken für den dreidimensionalen Dünnfilm-Nanomaterialfluss zu untersuchen. Die Geometrie der Forschung ist eine wirbelnde Schicht mit einem dreidimensionalen instationären Nanomaterial-Dünnschichtmoment. Die dem Problem zugrunde liegenden Gleichungen zur Erhaltung von Masse, Impuls, Energie und Konzentration sind partielle Differentialgleichungen (PDEs). Das Lösen von PDEs, insbesondere ihre analytische Lösung, gilt als große Herausforderung, aber durch die Verwendung ähnlicher Variablen können sie in gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs) umgewandelt werden. Die abgeleiteten ODEs sind immer noch nichtlinear, es ist jedoch möglich, sie mit semianalytischen Methoden analytisch zu approximieren. Diese Studie transformierte die maßgeblichen PDEs unter Verwendung geeigneter Ähnlichkeitsvariablen in eine Reihe nichtlinearer ODEs. Die dimensionslosen Parameter wie Prandtl-Zahl, Schmidt-Zahl, Brownscher Bewegungsparameter, thermophoretischer Parameter, Nusselt- und Sherwood-Zahlen werden in ODEs dargestellt, und der Einfluss dieser dimensionslosen Parameter wurde in vier Fällen berücksichtigt. Jeder in dieser Aufgabe berücksichtigte Fall wurde anhand von Diagrammen demonstriert. Diese Studie verwendete modifizierte AGM- (Akbari-Ganji-Methode) und HAN-Methoden (Hybridanalytik und Numerik) zur Lösung der ODEs, die die Neuheit der aktuellen Studie darstellen. Die geänderte Hauptversammlung ist neu und hat die frühere Hauptversammlung vollständiger gemacht. Die zweite semianalytische Technik ist die HAN-Methode. Da sie in früheren Artikeln numerisch gelöst wurde, wurde diese Methode ebenfalls verwendet. Die neuen Ergebnisse wurden mit den modifizierten AGM- und HAN-Lösungen erzielt. Die Gültigkeit dieser beiden analytischen Lösungen wurde durch einen Vergleich mit den numerischen Runge-Kutta-Lösungen vierter Ordnung (RK4) bewiesen.

In der Wissenschaft, insbesondere in der Chemie, ist die Kondensatbildung aus abkühlendem und gesättigtem Dampf von großer Bedeutung. Viele Forscher untersuchten dieses Phänomen unter verschiedenen Umständen. Sparrow und Gregg1 analysierten die Filmkondensation auf einer rotierenden Platte mit reinem Sattdampf. Das mit der Rotation verbundene Zentrifugalfeld bewegt das Kondensat entlang der Oberfläche der Scheibe nach außen, ohne dass Gravitationskräfte erforderlich sind. Bei diesem Problem wurden die zugrunde liegenden Gleichungen numerisch gelöst und schließlich wurden Ergebnisse für Wärmeübertragung und Kondensatschichtdicke, Drehmoment, Temperatur und Geschwindigkeitsprofile angegeben. Beckett et al.2 untersuchten das Problem der laminaren Kondensation auf einer wirbelnden Scheibe in einem großen Volumen statischen Dampfs bei niedrigen und hohen Abkühlraten auf der Scheibenoberfläche. Die maßgeblichen Gleichungen wurden mittels Ähnlichkeitstransformation in einen Satz von ODEs umgewandelt und numerisch gelöst, und die Lösungen wurden anhand zuvor veröffentlichter Ergebnisse verglichen. Chary und Sarma3 untersuchten das Problem des Übergangs von Dampf zu Flüssigkeit bei konstanter axialer Saugkraft an einer durchlässigen Kondensationsoberfläche. Die maßgeblichen Gleichungen wurden auf eine Reihe von ODEs reduziert. Zur Berechnung des Wärmeübergangskoeffizienten wurde die numerische Runge-Kutta-Methode verwendet und Grenzlösungen für sehr dünne Kondensatfilme ermittelt. Sie stellten fest, dass der Wärmeübergangskoeffizient durch die richtige Wahl des Saugparameterwerts auf jedes gewünschte Niveau erhöht werden kann. Attia und Aboul-Hassan4 untersuchten die transiente Bewegung einer viskosen leitenden Flüssigkeit aufgrund der Verwirbelung einer unendlichen, nicht leitenden, porösen Scheibe mit einem gleichmäßigen Magnetfeld und dem Hall-Effekt. Die maßgeblichen Gleichungen wurden numerisch gelöst, und die Lösung zeigte, dass die Einbeziehung von Injektion oder Ansaugung von der Scheibenoberfläche zusätzlich zur Hall-Strömung interessante Ergebnisse liefert. Bachok et al.5 untersuchten die transiente Grenzschicht eines Nanofluidflusses auf einer durchlässigen Dehnungs-/Schrumpffolie. Die zugrunde liegenden Gleichungen werden in nichtlineare ODEs reduziert und numerisch gelöst. Freidoonimehr et al.6 untersuchten eine instationäre, laminare freie Konvektionsströmung mit MHD auf einer senkrechten Schicht. Die zugrunde liegenden Gleichungen werden durch eine geeignete Ähnlichkeitstransformation in das System der ODEs reduziert und mit der RK4-Methode numerisch gelöst. Makinde et al.7 untersuchten die kombinierten Auswirkungen von Wärmestrahlung, Thermophorese, Brownscher Bewegung, Magnetfeld und variabler Viskosität auf Grenzschichtströmung, Wärme und Stoffübertragung eines elektrisch leitenden Nanofluids auf einer sich radial ausdehnenden, konvektiv erhitzten Folie. Die maßgeblichen Gleichungen wurden unter Verwendung geeigneter Ähnlichkeitsvariablen in ein System von ODEs umgewandelt und mit der RK4-Methode numerisch gelöst. Akbar et al.8 untersuchten den zweidimensionalen, nicht vorübergehenden, inkompressiblen, viskosen Nanofluidfluss auf einer sich ausdehnenden/schrumpfenden Platte. Die maßgeblichen PDEs wurden durch Ähnlichkeitsvariablen in eine Reihe von ODEs umgewandelt und mithilfe der Schießmethode numerisch gelöst. Ramzan et al.9 untersuchten den nicht-transienten inkompressiblen MHD-Nanofluidfluss aufgrund einer unendlich wirbelnden Scheibe mit konstanter Winkelgeschwindigkeit und berücksichtigten dabei auch die verschiedenen Geschwindigkeitsschlupfbedingungen. Die maßgeblichen Gleichungen wurden in einen Satz nichtlinearer ODEs umgewandelt und mit der RK4-Methode numerisch gelöst. Alshomrani und Gul10 untersuchten den Nanofluidfluss eines Flüssigkeitsfilms in einem porösen Medium auf einer Streckfolie anhand des Vorhandenseins von Geschwindigkeitsschlupf und thermischem Schlupf. Die maßgeblichen Gleichungen wurden über geeignete Ähnlichkeitsvariablen in einen Satz von ODEs umgewandelt und mit der Homotopy Analysis Method (HAM) gelöst. Gul und Sohail11 untersuchten die verschiedenen Marangoni-Konvektionen über einer dünnen Filmströmung auf einem Streckzylinder. Die geeigneten Ähnlichkeitsvariablen wandelten die maßgeblichen Gleichungen dieser Studie in einen Satz von ODEs um und lösten sie numerisch mit der RK4-Methode. Ellahi12 untersuchte die MHD-Nicht-Newtonsche Nanoflüssigkeitsströmung in einem Rohr unter der Annahme, dass die Temperatur des Rohrs höher als die Flüssigkeitstemperatur war, und berücksichtigte außerdem zwei bestimmte temperaturabhängige Viskositätsmodelle. Die zugrunde liegenden Gleichungen wurden über geeignete Ähnlichkeitsvariablen in einen Satz von ODEs umgewandelt und vom HAM gelöst. Die analytischen Lösungen des Geschwindigkeitsfeldes, der Temperaturverteilung und der Nanokonzentration wurden abgeleitet. Khan und Pop13 untersuchten den stetigen zweidimensionalen laminaren Nanoflüssigkeitsfluss und die Wärmeübertragung, die sich aus der Dehnung einer Folie ergeben, und bei dem Problem wurden auch die Brownsche Bewegung und die Thermophorese berücksichtigt. Die maßgeblichen Gleichungen wurden numerisch gelöst, nachdem die maßgeblichen PDEs in einen Satz von ODEs umgewandelt wurden. Mustafa et al.14 untersuchten den inkompressiblen Nanofluidfluss, die Wärme- und Stoffübertragung in einem Kanal mit Brownscher Bewegung und Thermophoreseeffekten. Die maßgeblichen Gleichungen wurden mithilfe einer geeigneten Ähnlichkeitstransformation von PDEs in ODEs umgewandelt und anschließend sowohl mit der numerischen Methode von RK4 als auch analytisch mit HAM gelöst. Akbar und Nadeem15 untersuchten den zweidimensionalen, inkompressiblen, stetigen peristaltischen Fluss eines Nanofluids sowie die Wärme- und Stoffübertragung in einem Endoskop. Die zugrunde liegenden Gleichungen wurden in dimensionslose Form umgewandelt und mithilfe der Homotopy Perturbation-Methode (HPM) analytisch gelöst. Lakshmisha et al.16 untersuchten die dreidimensionale transiente laminare Bewegung eines viskosen, inkompressiblen MHD-Fluidstroms und die Wärmeübertragung, die durch die Dehnung einer unendlichen flachen Oberfläche verursacht wird. Die Flüssigkeit war im Unendlichen stationär, und der Streckungsoberfläche wurde in zwei seitlichen Richtungen ein rutschfester Zustand auferlegt, wo Saug- oder Injektionswirkung ausgeübt werden kann. Die zugrunde liegenden Gleichungen wurden in ODEs reduziert und mit drei verschiedenen numerischen Methoden gelöst. Wang17 untersuchte den dreidimensionalen Flüssigkeitsfluss aufgrund der Dehnung einer Folie in zwei Richtungen. Die maßgeblichen Gleichungen wurden durch geeignete Ähnlichkeitstransformation in einen Satz von ODEs reduziert und dann mit der numerischen Methode von RK4 gelöst. Ahmad et al.18 untersuchten das Problem der erzwungenen Konvektionsgrenzschicht-Nanofluidströmung und der Wärmeübertragung von einer stationären halbunendlichen flachen Platte sowie ein weiteres Problem, das dem vorherigen ähnelte, aber dieses Mal war die flache Platte nicht stationär. Die zugrunde liegenden Gleichungen wurden durch eine Transformation in einen Satz von ODEs umgewandelt und anschließend mit der numerischen Methode von RK4 gelöst. Chamkha et al.19 untersuchten das Problem des Grenzschicht-Nanofluidflusses, der Wärme- und Stoffübertragung auf einem dynamischen porösen Medium in Gegenwart von Magnetfeldern, Wärmeerzeugung oder -absorption, Thermophorese, Brownscher Bewegung und Saug- oder Injektionseffekten. Die zugrunde liegenden Gleichungen wurden in ein System von ODEs reduziert und mithilfe der Finite-Differenzen-Methode (FDM) numerisch gelöst. Kandasamy et al.20 untersuchten das Problem der dreidimensionalen instationären laminaren Nanofluidströmung, Wärme und Stoffübertragung aufgrund der dehnbaren senkrechten Schicht mit sich ändernden Strömungsbedingungen in Gegenwart von Brownscher Bewegung und Thermophoreseeffekten. Die zugrunde liegenden Gleichungen wurden in ein System gekoppelter nichtlinearer ODEs reduziert und numerisch mit der Oberbeck-Boussinesq-Näherung gelöst. Berkan et al.21 untersuchten das Problem eines intransienten dreidimensionalen Kondensationsfilms über einer abgewinkelten Wirbelscheibe. Die zugrunde liegenden Gleichungen wurden durch Transformation in einen Satz von ODEs reduziert und mit AGM analytisch gelöst. Die Ergebnisse wurden mit den zuvor veröffentlichten Studien verglichen. Mirgolbabaee et al.22 untersuchten einen zweidimensionalen intransienten laminaren MHD-Flüssigkeitsfluss entlang paralleler poröser Wände, in den Flüssigkeit gleichmäßig injiziert oder entfernt wird. Die zugrunde liegenden Gleichungen wurden durch eine Ähnlichkeitstransformation in eine Menge von ODEs reduziert und analytisch gelöst. Jalili et al.23 untersuchten die Auswirkungen der abgewinkelten Lorentz-Körperkraft und der sich ändernden Viskosität auf den Fluss eines nicht-Newtonschen Williamson-Nanofluids über eine dehnbare Folie. Die zugrunde liegenden Gleichungen wurden über Ähnlichkeitsvariablen in ODEs umgewandelt und analytisch gelöst. Jalili et al.24 untersuchten den Fluss eines intransienten zweidimensionalen MHD-Nanofluids über eine semi-unendliche dehnbare flache Platte. Die zugrunde liegenden Gleichungen wurden in eine Reihe von ODEs reduziert und analytisch gelöst. Jalili et al.25 untersuchten das Problem der zweidimensionalen, stetigen mikropolaren Ferrofluidströmung und Wärmeübertragung an der Grenzschicht aufgrund der verengenden Platte bei Vorhandensein von Wärmestrahlung und transversalem Magnetfeld. Die maßgeblichen Gleichungen wurden in ein System von ODEs reduziert und analytisch und numerisch gelöst. Jalili et al.26 schlugen die hybride analytische und numerische Methode (die HAN-Methode) vor, um das Problem der viskosen, inkompressiblen, laminaren achsensymmetrischen Strömung einer mikropolaren Flüssigkeit bei Vorhandensein eines Magnetfelds zwischen zwei dehnbaren Scheiben zu lösen. Die zugrunde liegenden Gleichungen wurden durch Ähnlichkeitsvariablen in ODEs reduziert und analytisch gelöst. Jalili et al.27,28 verwendeten die gleiche HAN-Methode auch in zwei weiteren Studien. Viele Probleme29,30,31,32,33,34,35,36 im Zusammenhang mit der Strömungsmechanik wurden untersucht und die Ähnlichkeitstransformation verwendet, um die PDEs in ODEs umzuwandeln, aber sie konnten numerisch gelöst werden. In der Zwischenzeit hatte die modifizierte HAN- oder AGM-Methode das Potenzial dazu Lösen Sie diese Probleme analytisch. Die Neuheit dieses Artikels besteht darin, dass diese beiden Methoden verwendet wurden und die analytische Antwort erhalten wurde.

Dieser Artikel untersucht den Wärme- und Stofftransfer in einem transienten, wirbelnden, abgewinkelten Blech analytisch mit zwei Techniken für einen 3D-Dünnfilmfluss aus Nanomaterial. Die in dieser Studie verwendeten semianalytischen Methoden sind modifizierte AGM- und HAN-Methoden. Die geänderte Hauptversammlung ist neu und hat die frühere Hauptversammlung vollständiger gemacht. Die zweite semianalytische Technik ist die HAN-Methode, die angewendet wird, weil Zeeshan et al. hat die numerische Lösung dieses Problems bereits gelöst37. Die Ergebnisse dieser beiden semianalytischen Lösungen wurden mit der zuvor veröffentlichten RK4-Lösung verglichen.

Die Geometrie der Studie ist eine wirbelnde Platte mit einem dreidimensionalen transienten Nanomaterial-Dünnschichtmoment, wie in Abb. 1 dargestellt. Die Platte wirbelt mit der Winkelgeschwindigkeit \(\Omega ,\) und die geneigte Platte hat einen Winkel von \(\beta\) mit dem Horizont. Die Nanomaterialdicke der Folie wird mit \(h\) angegeben, und die Geschwindigkeit der versprühten Flüssigkeit wird mit \(W\) angegeben. Der Endeffekt wird vernachlässigt, da die Dicke des Flüssigkeitsfilms im Vergleich zum Radius der Scheibe nicht dick genug ist. Die Gravitationskraft existiert und wird mit \(\overline{g}\) bezeichnet. Ihre Richtung ist in der folgenden Abbildung dargestellt. Die Temperatur der Filmoberfläche wird mit \({T}_{0}\) bezeichnet. Die Temperatur der geneigten Wirbelfläche wird mit \({T}_{w}\) bezeichnet. Die Konzentration der Filmoberfläche wird mit \({C}_{0}\) bezeichnet. Die Konzentration der geneigten Wirbelfläche wird mit \({C}_{w}\) bezeichnet.

Die Geometrie des Problems.

Die Dicke des Flüssigkeitsfilms ist sehr gering und der Druck an der Oberfläche wird mit \({p}_{0}\) bezeichnet und ist nur eine Funktion von \(z\). Die viskose Dissipationsfunktion in der Energiegleichung ist vernachlässigbar. Die maßgeblichen Gleichungen des Problems lauten wie folgt2,3,5,6,8,37:

Die Gleichung der Massenerhaltung:

Die Gleichung der Impulserhaltung in \(x\)-Richtung:

Die Gleichung der Impulserhaltung in \(y\)-Richtung:

Die Gleichung der Impulserhaltung in \(z\)-Richtung:

Die Energieerhaltungsgleichung:

Die Konzentrationserhaltungsgleichung:

Dabei bezeichnet \(D/Dt\) die Gesamtableitung der Zeitvariablen, \(\nabla\) den Gradientenoperator, \(u\), \(v,\) und \(z\) die Geschwindigkeiten in den Richtungen \(x\), \(y,\) und \(z\) ist \({\nabla }^{2}\) der Laplace-Operator, \(T\) die Temperatur, \(C\) ist die Konzentration, \({\rho }_{f}\), ist die Dichte der Grundflüssigkeit, \(\mu\) ist die dynamische Viskosität, \(\alpha\) ist die thermische Diffusivität, \({c}_{p}\), ist die spezifische Wärmekapazität bei einem konstanten Druck des Nanofluids, \({\left(\rho {c}_{p}\right)}_{p}/ {\left(\rho {c}_{p}\right)}_{f}\) ist das Verhältnis der Wärmekapazität der Nanopartikel zur Wärmekapazität der Grundflüssigkeit, \({D}_{B}\) ist der Brownsche Diffusionskoeffizient und \({D}_{T}\) ist der thermophoretische Diffusionskoeffizient.

Die entsprechenden Randbedingungen der Gl. (1)–(6) lauten wie folgt:

Die Ähnlichkeitstransformationen werden wie folgt berücksichtigt8,11,37:

Dabei ist \(\nu\) die kinematische Viskosität, \(\theta\) die dimensionslose Temperatur und \(\phi\) die dimensionslose Konzentration. Die Ähnlichkeitsvariablen von Gl. (8) kann in den Gleichungen eingesetzt werden. (2)–(6) zur Umwandlung eines Systems nichtlinearer PDEs in ein System nichtlinearer, dimensionslos gekoppelter ODEs:

Ersetzt man die Ähnlichkeitsvariablen von Gl. (8) in Gl. (7) wird wie folgt lauten:

Dabei ist \(Pr\) die Prandtl-Zahl, \(Sc\) die Schmidt-Zahl, \(Nb\) der Brownsche Bewegungsparameter, \(S\) der Parameter, der von der Winkelgeschwindigkeit der rotierenden Oberfläche abhängt , und \(Nt\) ist der thermophoretische Parameter, der definiert ist als37,38:

Die konstante normalisierte Dicke von \(\delta\) ist wie folgt37:

Die dimensionslosen Nusselt- und Sherwood-Zahlen lauten wie folgt37:

Jalili et al.26,27,28 entwickelten die HAN-Methode zur Approximation einer analytischen Lösung für eine Differentialgleichung. In diesem Teil erfolgt die Erläuterung der HAN-Methode wie folgt:

Betrachten Sie eine ODE der Ordnung m \(th\) wie folgt:

Gleichung (20) ist eine nichtlineare Differentialgleichung und \(\Gamma\) ist die Funktion von \(\zeta\) und seine Ableitungen nach \(\upxi\). Der Parameter \(\zeta\) ist die Funktion der unabhängigen Variablen \(\upxi\). Die Ableitungen der Funktion \(\zeta \left(\upxi \right)\) nach \(\upxi\) bei \(\upxi =0\) und \(\upxi =L\) werden wie folgt bezeichnet :

Die Lösung von Gl. (20) wird wie folgt betrachtet:

Dabei sind \({a}_{0}\), \({a}_{1}\), …, \({a}_{n}\) \(n+1\) konstante Koeffizienten, die \(n>m\). Durch Lösen eines Systems von \(n+1\) Unbekannten und \(n+1\) Gleichungen werden konstante Koeffizienten bestimmt. Die Randbedingungen des Problems können einige dieser Gleichungen wie folgt konstruieren:

Die konstruierten Gleichungen aus Randbedingungen des Problems, wie sie in den Gleichungen zu sehen sind. (23), (24) sind begrenzt, da wir früher in dieser Methodik davon ausgehen, dass der Wert von \(n\) höher ist als \(m\). Es werden jedoch noch mehr Randgleichungen benötigt, und eine numerische Methode (unabhängig von der numerischen Methode und unabhängig von der Art des Softwarepakets) kann diese zusätzlichen Randbedingungen annähern, um die verbleibenden benötigten Gleichungen zu erstellen. Die neuen angenäherten Randbedingungen lauten also wie folgt:

Beispielsweise werden die folgenden Gleichungen aus angenäherten Randbedingungen von Gl. erstellt. (25):

Nach Gl. (26)–(29) lässt sich ableiten, dass so viele Gleichungen wie möglich benötigt werden, um ein System mit \(n+1\) Gleichungen und \(n+1\) Unbekannten zu erstellen. Die Einschränkung der HAN-Methode liegt lediglich in der verwendeten numerischen Methode. Das bedeutet, dass die HAN-Methode nicht verwendet werden könnte, wenn keine numerische Methode ein Problem lösen könnte, da diese Methode dringend eine numerische Lösung benötigt. Um die genannte Methode kompakter zusammenzufassen, ist in der folgenden Abb. 2 das Flussdiagramm für die HAN-Methode dargestellt:

Das Flussdiagramm der HAN-Methode.

Nehmen wir für die Anwendung der HAN-Methode an, dass die folgenden Funktionen die semianalytischen Lösungen der Gleichungen sind. (9)–(14):

Basierend auf Gl. (30) gibt es 43 unbekannte Koeffizienten und 43 Gleichungen sind erforderlich, um sie zu erhalten. Gleichung (15) ergibt nur 13 Gleichungen und die restlichen 30 müssen numerisch erstellt werden. Diese Studie verwendete die numerische Lösung von Zeeshan et al.37. Schließlich ist gemäß Tabelle 1 das System der ODEs der Gl. (9)–(14) für 4 Fälle können gelöst werden, indem das System aus 46 Gleichungen und 46 Unbekannten sowie die Lösungen der Gleichungen berechnet werden. (9)–(14) für alle verfügbaren Fälle in Tabelle 1 lauten wie folgt:

Lösungen von Fall 1 mit \(Pr=6.6\), \(Nt=0.2\), \(Nb=0.2\), \(Sc=2.0\), \(S=0.0\), \(\delta = 1,0\) werden in den Gleichungen demonstriert. (31)–(36) wie folgt:

Lösungen von Fall 2 mit \(Pr=6,7\), \(Nt=0,4\), \(Nb=0,4\), \(Sc=4,0\), \(S=0,3\), \(\delta = 1,0\) werden in den Gleichungen demonstriert. (37)–(42) wie folgt:

Lösungen von Fall 3 mit \(Pr=7.1\), \(Nt=0.6\), \(Nb=0.6\), \(Sc=6.0\), \(S=0.5\), \(\delta = 1,0\) werden in den Gleichungen demonstriert. (43)–(48) wie folgt:

Lösungen von Fall 4 mit \(Pr=7,3\), \(Nt=0,8\), \(Nb=0,8\), \(Sc=8,0\), \(S=0,6\), \(\delta = 1,0\) werden in den Gleichungen demonstriert. (49)–(54) wie folgt:

Die Akbari-Ganji-Methode wurde zur analytischen Lösung nichtlinearer Differentialgleichungen entwickelt. Diese Methode hat viele Probleme gelöst21,22,23,24,25,39,40 für die es keine genaue Analysemethode gibt. In diesem Artikel wird die Modifikation dieser Methode vorgestellt, da genauere Lösungen erforderlich sind.

Um die Hauptidee der modifizierten AGM zu erklären, wird die allgemeine Form der Differentialgleichung m-ter Ordnung wie folgt angenommen:

Mit Randbedingungen:

Zur Lösung von Gl. (55) können wir die Antwort als das folgende Polynom vom Grad \(n\) mit unbekannten konstanten Koeffizienten betrachten:

Dabei sind \({a}_{0}\), \({a}_{1}\), …, \({a}_{n}\) \(n+1\) konstante Koeffizienten, die \(n>m\). Durch Lösen eines Systems von \(n+1\) Unbekannten und \(n+1\) Gleichungen werden konstante Koeffizienten bestimmt. Die Randbedingungen des Problems können einige dieser Gleichungen wie folgt konstruieren:

Die konstruierten Gleichungen aus Randbedingungen des Problems, wie sie in den Gleichungen zu sehen sind. (58), (59) sind begrenzt, da wir früher in dieser Methodik davon ausgehen, dass der Wert von \(n\) höher ist als \(m\). Es sind jedoch weitere Gleichungen erforderlich, um ein System aus \(n+1\) Unbekannten und \(n+1\) Gleichungen zu konstruieren. Die restlichen Gleichungen können also durch Einsetzen von Gleichung erstellt werden. (57) in Gl. (55) wie folgt:

Es können also so viele Gleichungen wie möglich aus den Gleichungen abgeleitet werden. (60)–(62), um ein System von \(n+1\) Unbekannten und \(n+1\) Gleichungen zu konstruieren. Abschließend werden durch Lösen der Gleichungen Reihenkonstantenkoeffizienten und damit die Lösung des Problems ermittelt. Im Gegensatz zur HAN-Methode hängt AGM nicht von der numerischen Lösung ab und ist unabhängiger. Die Einschränkung dieser Methode besteht jedoch darin, dass die Lösung des Problems mit der AGM-Methode umso schwieriger ist, je nichtlinearer das Problem ist. Um die genannte Methode kompakter zusammenzufassen, ist in der folgenden Abb. 3 das Flussdiagramm für die modifizierte Hauptversammlung dargestellt:

Das Ablaufdiagramm der geänderten Hauptversammlung.

In diesem Teil werden Gl. (9)–(14) werden mit der modifizierten Akbari-Ganji-Methode für die Fälle (1, 2) gemäß Tabelle 1 gelöst. Für die Anwendung der modifizierten Akbari-Ganji-Methode sind die folgenden Funktionen als semianalytische Lösungen von anzunehmen Gl. (9)–(14) für die Fälle (1, 2):

Basierend auf Gl. (63) gibt es 31 unbekannte Koeffizienten und es werden 43 Gleichungen benötigt, um sie zu erhalten. Gleichung (15) ergibt nur 13 Gleichungen, und die restlichen 18 Gleichungen müssen durch Gleichung (15) erstellt werden. (60) und die Lösungen für die Fälle (1, 2) lauten wie folgt:

Lösungen von Fall 1 mit \(Pr=6.6\), \(Nt=0.2\), \(Nb=0.2\), \(Sc=2.0\), \(S=0.0\), \(\delta = 1,0\) werden in den Gleichungen demonstriert. (64)–(69) wie folgt:

Lösungen von Fall 2 mit \(Pr=6,7\), \(Nt=0,4\), \(Nb=0,4\), \(Sc=4,0\), \(S=0,3\), \(\delta = 1,0\) werden in den Gleichungen demonstriert. (70)–(75) wie folgt:

Es können jedoch genauere Lösungen erzielt werden, indem \(n\) in angenommenen Funktionen erhöht wird. Die folgenden Funktionen sind die semianalytischen Lösungen der Gleichungen. (9)–(14) für die Fälle (3, 4):

Basierend auf Gl. (76) werden 49 unbekannte Koeffizienten und 49 Gleichungen benötigt, um sie zu erhalten. Da die Anzahl der konstanten Koeffizienten zugenommen hat, nimmt die Anzahl der Gleichungen zu, die wir erstellen müssen, um ein System aus \(n\) Gleichungen und \(n\) Unbekannten zu erstellen, und zusätzlich zu den Gleichungen. (60), (61) sollten ebenfalls verwendet werden. Gleichung (15) ergibt nur 13 Gleichungen, und die restlichen 36 Gleichungen müssen durch Gleichungen erstellt werden. (60), (61) und die Lösungen für die Fälle (3, 4) lauten wie folgt:

Lösungen von Fall 3 mit \(Pr=7.1\), \(Nt=0.6\), \(Nb=0.6\), \(Sc=6.0\), \(S=0.5\), \(\delta = 1,0\) werden in den Gleichungen demonstriert. (77)–(82) wie folgt:

Lösungen von Fall 4 mit \(Pr=7,3\), \(Nt=0,8\), \(Nb=0,8\), \(Sc=8,0\), \(S=0,6\), \(\delta = 1.0\) werden in den Gleichungen demonstriert. (83)–(88) wie folgt:

Die Wärme- und Stoffübertragung in einer instationären rotierenden schiefen Ebene wurde mithilfe der 3D-Dünnschicht-Nanomaterialströmung untersucht. Die Lösungen wurden mit den modifizierten AGM- und HAN-Methoden erhalten. Die Gültigkeit dieser beiden analytischen Lösungen wurde durch einen Vergleich mit den numerischen Lösungen vierter Ordnung (RK4) von Zeeshan et al.37 Runge-Kutta bewiesen. Die Abbildungen 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 und 12 zeigen die Genauigkeit der modifizierten AGM- und HAN-Ergebnisse. Die folgende Tabelle bezieht sich auf die vier in dieser Studie betrachteten Fälle.

Der Einfluss verschiedener Fälle auf \(f\left(\upxi \right)\).

Der Einfluss verschiedener Fälle auf \(\mathrm{g}\left(\upxi \right)\).

Der Einfluss verschiedener Fälle auf \(h\left(\upxi \right)\).

Der Einfluss verschiedener Fälle auf \(k\left(\upxi \right)\).

Der Einfluss verschiedener Fälle auf \(\uptheta \left(\upxi \right)\).

Der Einfluss verschiedener Fälle auf \(\upphi \left(\upxi \right)\).

Der Einfluss verschiedener Fälle auf \(f^{\prime}\left(\upxi \right)\).

Der Einfluss verschiedener Fälle auf \(\uptheta ^{\prime}\left(\upxi \right)\).

Der Einfluss verschiedener Fälle auf \(\upphi ^{\prime}\left(\upxi \right)\).

Da die Auswirkungen von vier Fällen in den Abbildungen dargestellt sind. 4, 5, 6, 7, 8, 9 und Variationen der Sherwood-Zahl, der Wärmeübertragung und der Radialgeschwindigkeitsprofile sind in den Abbildungen dargestellt. 10, 11 und 12. In dieser Studie wird der Durchschnittswert einer beliebigen Skalarfunktion von \(\upchi \left(\upxi \right)\) wie folgt definiert:

wobei \(a\) und \(b\) ganze Zahlen sind. Nach Gl. (89), die Durchschnittswerte von \(f\left(\upxi \right)\), \(f^{\prime}\left(\upxi \right)\),\(\mathrm{g}\left (\upxi \right)\), \(k\left(\upxi \right)\), \(h\left(\upxi \right)\), \(\uptheta \left(\upxi \right)\ ), \(\upphi \left(\upxi \right)\), \(\uptheta {^{\prime}}\left(\upxi \right)\), und \(\upphi{ ^{\prime} }\left(\upxi \right)\) werden mit \({\overline{f} }_{avg}\), \({\overline{f} }_{avg}^{\prime}\) bezeichnet ,\({\overline{\mathrm{g}} }_{avg}\), \({\overline{k} }_{avg}\), \({\overline{h} }_{avg} \), \({\overline{\uptheta } }_{avg}\), \({\overline{\upphi } }_{avg}\), \({\overline{\uptheta } }_{avg }^{\prime}\) bzw. \({\overline{\upphi } }_{avg}^{\prime}\) . Nach Abb. 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 und 12: Wenn die Fälle (1–4) im Zusammenhang mit Tabelle 1 auftreten, sind die Durchschnittswerte von \({\overline{f} }_{avg}\) , \({\overline{f} }_{avg}^{\prime}\), \({\overline{\mathrm{g}} }_{avg}\), \({\overline{k} }_{avg}\), \({\overline{h} }_{avg}\), \({\overline{\uptheta } }_{avg}\), \({\overline{\upphi } }_{avg}\), \({\overline{\uptheta } }_{avg}^{\prime}\) und \({\overline{\upphi } }_{avg}^{\prime} \) sind in den folgenden Tabellen angegeben:

In den Tabellen 2, 3 und 4 stiegen einige durchschnittliche Ergebnisse, wenn sich die Bedingungen von Fall 1 zu Fall 4 änderten, und andere sanken. Die Verringerung oder Erhöhung dieser Werte wird anhand der folgenden Beziehung berechnet:

Dabei ist \(\Omega\) der Betrag der prozentualen Erhöhung oder Verringerung der Werte, \({\mathrm{ Z}}_{2}\) der zweite Wert und \({\mathrm{ Z}}_{1} \) ist der erste Wert. Gemäß Tabelle 2 ändern sich die Durchschnittswerte der Ergebnisse aus Ref. 37 entsprechend, wenn sich die konstanten Koeffizienten der Fälle in Tabelle 1 von Fall 1 zu Fall 4 ändern. Wenn sich die Bedingungen von Fall 1 zu Fall 4 ändern, verringert sich \({\overline{f} }_{avg}\) um 34,71362167 %, \({\overline{f} }_{avg}^{\prime }\) wird um 35,78465385 % abnehmen, \({\overline{\mathrm{g}} }_{avg}\), wird um 8,197818397 % abnehmen, \({\overline{k} }_{avg}\) wird um 9,504907967 % abnehmen, \({\overline{h} }_{avg}\) wird um 23,38976383 % zunehmen, \({\overline{\uptheta } }_{avg}\) wird um 9,441723369 % zunehmen, \ ({\overline{\uptheta } }_{avg}^{\prime}\) wird um 7,742384880 % steigen und \({\overline{\upphi } }_{avg}^{\prime}\) wird abnehmen um 9,974419462 %, aber gemäß Tabelle 2 erhöht sich \({\overline{\upphi } }_{avg}\) um 1,541136126 %, wenn es von Fall 1 zu Fall 2 wechselt, aber \({\overline{\upphi } }_{avg}\) nimmt um 1,839033024 % ab, wenn es von Fall 2 zu Fall 4 wechselt. Gemäß Tabelle 3 ändern sich die Durchschnittswerte der Fälle, wenn sich die konstanten Koeffizienten der Fälle in Tabelle 1 von Fall 1 zu Fall 4 ändern Ergebnisse aus der geänderten Hauptversammlungsänderung. Wenn sich die Bedingungen von Fall 1 zu Fall 4 ändern, verringert sich \({\overline{f} }_{avg}\) um 34,60665497 %, \({\overline{f} }_{avg}^{\prime }\) wird um 35,68188954 % abnehmen, \({\overline{\mathrm{g}} }_{avg}\) , wird um 8,140379566 % abnehmen, \({\overline{k} }_{avg}\) wird um 9,388178325 % abnehmen, \({\overline{h} }_{avg}\) wird um 23,82760391 % zunehmen, \({\overline{\uptheta } }_{avg}\) wird um 9,259738964 % zunehmen, \ ({\overline{\uptheta } }_{avg}^{\prime}\) wird um 7,367258115 % steigen und \({\overline{\upphi } }_{avg}^{\prime}\) wird abnehmen um 9,528160070 %, aber gemäß Tabelle 2 erhöht sich \({\overline{\upphi } }_{avg}\) um 1,313715539 %, wenn es von Fall 1 zu Fall 2 wechselt, aber \({\overline{\upphi } }_{avg}\) verringert sich um 1,109559162 %, wenn es von Fall 2 zu Fall 4 wechselt. Gemäß Tabelle 4 ändern sich die Durchschnittswerte der Fälle, wenn sich die konstanten Koeffizienten der Fälle in Tabelle 1 von Fall 1 zu Fall 4 ändern Ergebnisse aus der Änderung der HAN-Methode. Wenn sich die Bedingungen von Fall 1 zu Fall 4 ändern, verringert sich \({\overline{f} }_{avg}\) um 34,71362166 %, \({\overline{f} }_{avg}^{\prime }\) wird um 35,78461613 % abnehmen, \({\overline{\mathrm{g}} }_{avg}\) , wird um 8,197818386 % abnehmen, \({\overline{k} }_{avg}\) wird um 9,504907931 % abnehmen, \({\overline{h} }_{avg}\) wird um 23,38976385 % zunehmen, \({\overline{\uptheta } }_{avg}\) wird um 9,441723405 % zunehmen, \ ({\overline{\uptheta } }_{avg}^{\prime}\) wird um 7,592028101 % steigen und \({\overline{\upphi } }_{avg}^{\prime}\) wird abnehmen um 9,661365531 %, aber gemäß Tabelle 2 erhöht sich \({\overline{\upphi } }_{avg}\) um 1,541136126 %, wenn es von Fall 1 zu Fall 2 wechselt, aber \({\overline{\upphi } }_{avg}\) verringert sich um 1,839033024 %, wenn von Fall 2 zu Fall 4 gewechselt wird.

Diese Studie untersucht das Problem der Wärme- und Stoffübertragung in einer instationären rotierenden schiefen Ebene mithilfe der 3D-Dünnschicht-Nanomaterialströmung. Die maßgeblichen Gleichungen waren festgelegte PDEs, und durch Verwendung einer geeigneten Ähnlichkeitstransformation wurden die PDEs in einen Satz nichtlinearer ODEs reduziert. Die ODEs in vier Fällen wurden mit zwei semianalytischen Techniken der modifizierten AGM und HAN gelöst. Die in dieser Studie verwendete modifizierte AGM ist eine neuartige Technik, und die Neuheit der aktuellen Arbeit hängt mit der analytischen Lösung dieses Problems zusammen. Im Gegensatz zur früheren Hauptversammlung hat die modifizierte Hauptversammlung die vorherigen Probleme gelöst und kann die bisherige Methode der Hauptversammlung ersetzen. Die HAN-Methode ist eine weitere semianalytische Methode, die eine numerische Lösung in eine analytische Lösung umwandelt. Technisch gesehen kann die HAN-Methode angewendet werden, um eine analytische Lösung zu erhalten, wenn für ein Problem eine numerische Lösung existiert. Die Ergebnisse der HAN-Lösung kommen im Vergleich mit der modifizierten AGM den numerischen Lösungen von Zeeshan et al.37 sehr nahe, gleichzeitig ist die modifizierte AGM jedoch nicht auf numerische Methoden zur Approximation analytischer Lösungen angewiesen. Daher kommt dieses Papier zu dem Schluss, dass:

Durch Modifizierung der früheren AGM-Technik wird eine neue semianalytische Methode eingeführt.

Die genauen analytischen Lösungen wurden mit der HAN-Methode erhalten.

Die Lösungen beider analytischer Lösungen wurden mit zuvor veröffentlichten Arbeiten verglichen.

Die Ergebnisse beider analytischer Lösungen wurden quantitativ dargestellt.

Die Sherwood-Zahl der Filmoberfläche und der geneigten Wirbeloberfläche nimmt ab, wenn die Schmidt-Zahl zunimmt und die Winkelgeschwindigkeit der rotierenden Oberfläche abnimmt.

Die Nusselt-Zahl geneigter Wirbelflächen nimmt zu, wenn die Prandtl-Zahl zunimmt und die Winkelgeschwindigkeit der rotierenden Oberfläche abnimmt.

Die Nusselt-Zahl der Filmoberflächen nimmt ab, wenn die Prandtl-Zahl zunimmt und die Winkelgeschwindigkeit der rotierenden Oberfläche abnimmt.

Die während der aktuellen Studie verwendeten und/oder analysierten Datensätze sind auf begründete Anfrage beim entsprechenden Autor erhältlich.

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Fakultät für Maschinenbau, Zweigstelle Nord-Teheran, Islamische Azad-Universität, Teheran, Iran

Payam Jalili, Ali Ahmadi Azar und Bahram Jalili

Fakultät für Maschinenbau, Technische Universität Babol Noshirvani, Postfach 484, Babol, Iran

Davood Domiri Ganji

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AAA und PJ haben den Haupttext des Manuskripts geschrieben und BJ und DDG haben die Abbildungen vorbereitet. Alle Autoren haben das Manuskript überprüft.

Korrespondenz mit Bahram Jalili oder Davood Domiri Ganji.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

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Nachdrucke und Genehmigungen

Jalili, P., Ahmadi Azar, A., Jalili, B. et al. Eine neuartige Technik zur Lösung der instationären dreidimensionalen Brownschen Bewegung eines dünnen Nanofluidstroms über einer rotierenden Oberfläche. Sci Rep 13, 13241 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-40410-3

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Eingegangen: 19. März 2023

Angenommen: 09. August 2023

Veröffentlicht: 15. August 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-40410-3

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